Учите и знайте математику [история про поступление в ВУЗ =)]

Пьер де Ферма́ (фр. Pierre de Fermat, 17 августа 1601 — 12 января 1665) — французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года — советник парламента в Тулузе. Блестящий полиглот. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма.

Биография

Пьер Ферма родился 17 августа 1601 года в гасконском городке Бомон-де-Ломань (Beaumont-de-Lomagne, Франция). Его отец, Доминик Ферма, был зажиточным торговцем, вторым городским консулом; мать, Клер де Лонг — преподавательница математики. В семье, кроме Пьера, были ещё один сын и две дочери. Ферма получил юридическое образование — сначала в Тулузе, а затем в Бордо и Орлеане.

В 1631 году, успешно закончив обучение, Ферма выкупил должность королевского советника парламента (другими словами, члена высшего суда) в Тулузе. В этом же году он женился на дальней родственнице матери, Луизе де Лонг. У них было пятеро детей.

Быстрый служебный рост позволил Ферма стать членом Палаты эдиктов в городе Кастр (1648). Именно этой должности он обязан добавлением к своему имени признака знатности — частицы de; с этого времени он становится Пьером де Ферма.

Около 1652 года Ферма пришлось опровергать сообщение о своей кончине во время эпидемии чумы; он действительно заразился, но выжил.

В 1660 году планировалась его встреча с Паскалем, но из-за плохого здоровья обоих учёных встреча не состоялась.

Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в городе Кастр, во время выездной сессии суда. Первоначально его похоронили там же, в Кастре, но вскоре (1675) прах перенесли в семейную усыпальницу Ферма, в церкви августинцев (Тулуза). Старший сын, Клеман-Самуэль, издал посмертное собрание его трудов, из которого современники и узнали о замечательных открытиях Пьера Ферма.

Современники характеризуют Ферма как честного, аккуратного, уравновешенного и приветливого человека, блестяще эрудированного как в математике, так и в гуманитарных науках, знатока многих древних и живых языков, на которых он писал неплохие стихи.

Научная деятельность

Работа советника в парламенте города Тулузы не мешала Ферма заниматься математикой. Постепенно он приобрёл славу одного из первых математиков Франции, хотя и не писал книг (научных журналов ещё не было), ограничиваясь лишь письмами к коллегам. Среди его корреспондентов были Р. Декарт, Ж. Дезарг, Ж. Роберваль и другие.

Открытия Ферма дошли до нас благодаря сборнику его обширной переписки (в основном через Мерсенна), изданной посмертно сыном Ферма.

В отличие от Галилея, Декарта и Ньютона, Ферма был чистым математиком — первым великим математиком новой Европы. Независимо от Декарта он создал аналитическую геометрию. Раньше Ньютона умел использовать дифференциальные методы для проведения касательных, нахождения максимумов и вычисления площадей. Правда, Ферма, в отличие от Ньютона, не свёл эти методы в систему, однако Ньютон позже признавался, что именно работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа.

Но главная его заслуга — создание теории чисел.

Теория чисел

Математики Древней Греции со времён Пифагора собирали и доказывали разнообразные утверждения, относящиеся к натуральным числам (например, методы построения всех пифагоровых троек, метод построения совершенных чисел и т. п.). Диофант Александрийский (III век н. э.) в своей «Арифметике» рассматривал многочисленные задачи о решении в рациональных числах алгебраических уравнений с несколькими неизвестными (ныне диофантовыми принято называть уравнения, которые требуется решить в целых числах). Эта книга (не полностью) стала известна в Европе в XVI веке, а в 1621 году она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма.

Ферма постоянно интересовался арифметическими задачами, обменивался сложными задачами с современниками. Например, в своём письме, получившем название «Второго вызова математикам» (февраль 1657), он предложил найти общее правило решения уравнения Пелля ax2 + 1 = y2 в целых числах. В письме он предлагал найти решения при a=149, 109, 433. Полное решение задачи Ферма было найдено лишь в 1759 году Эйлером.

Начал Ферма с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чисел — арифметические теоремы. Несомненно влияние Диофанта на Ферма, и символично, что он записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики».

Ферма обнаружил, что если a не делится на простое число p, то число ap − 1 − 1 всегда делится на p (см. Малая теорема Ферма). Позднее Эйлер дал доказательство и обобщение этого важного результата: см. Теорема Эйлера.

Обнаружив, что число простое при k ≤ 4, Ферма решил, что эти числа простые при всех k, но Эйлер впоследствии показал, что при k=5 имеется делитель 641. До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Ферма.

Эйлер доказал (1749) ещё одну гипотезу Ферма (сам Ферма редко приводил доказательства своих утверждений): простые числа вида 4k+1 представляются в виде суммы квадратов (5=4+1; 13=9+4), причём единственным способом, а для чисел, содержащих в своём разложении на простые множители простые числа вида 4k+3 в нечётной степени, такое представление невозможно. Эйлеру это доказательство стоило 7 лет трудов; сам Ферма доказывал эту теорему косвенно, изобретённым им индуктивным «методом бесконечного спуска». Этот метод был опубликован только в 1879 году; впрочем, Эйлер восстановил суть метода по нескольким замечаниям в письмах Ферма и неоднократно успешно его применял. Позже усовершенствованную версию метода применяли Пуанкаре и Андре Вейль.

Ферма разработал способ систематического нахождения всех делителей числа, сформулировал теорему о возможности представления произвольного числа суммой не более четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов). Самое знаменитое его утверждение — «Великая теорема Ферма» (см. ниже).

Многие арифметические открытия Ферма опередили время и были забыты на 70 лет, пока ими не заинтересовался Эйлер, опубликовавший систематическую теорию чисел. Одна из причин этого — интересы большинства математиков переключились на математический анализ.

Математический анализ и геометрия

Ферма практически по современным правилам находил касательные к алгебраическим кривым. Именно эти работы подтолкнули Ньютона к созданию анализа[3]. В учебниках по математическому анализу можно найти важную лемму Ферма, или необходимый признак экстремума: в точках экстремума производная функции равна нулю.

Ферма сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней и распространил формулу интегрирования степени на случаи дробных и отрицательных показателей.

Наряду с Декартом, Ферма считается основателем аналитической геометрии. В работе «Введение к теории плоских и пространственных мест», ставшей известной в 1636 году, он первый провёл классификацию кривых в зависимости от порядка их уравнения, установил, что уравнение первого порядка определяет прямую, а уравнение второго порядка — коническое сечение. Развивая эти идеи, Ферма пошёл дальше Декарта и применил аналитическую геометрию к пространству.

Другие достижения

Независимо от Паскаля Ферма разработал основы теории вероятностей. Именно с переписки Ферма и Паскаля (1654), в которой они, в частности, пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей, отсчитывает свою историю эта замечательная наука. Результаты Ферма и Паскаля были приведены в книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре» (1657), первом руководстве по теории вероятностей.

Имя Ферма носит основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время (впрочем, Ферма считал, что скорость света бесконечна, и формулировал принцип более туманно). С этого тезиса начинается история главного закона физики — принципа наименьшего действия.

Ферма перенёс на трёхмерный случай (внутреннего касания сфер) алгоритм Виета для задачи Аполлония .

Великая теорема Ферма

Ферма широко известен благодаря т. н. великой (или последней) теореме Ферма. Теорема была сформулирована им в 1637 году, на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы привести его на полях.

Вероятнее всего, его доказательство не было верным, так как позднее он опубликовал доказательство только для случая n = 4. Доказательство, найденное в 1994 году Эндрю Уайлсом, содержит 129 страниц и опубликовано в журнале «Annals of Mathematics» в 1995 году.

Простота формулировки этой теоремы привлекла много математиков-любителей, так называемых ферматистов. Даже и после решения Уайлса во все академии наук идут письма с «доказательствами» великой теоремы Ферма.