ИСиТ-23, задачи

Задача №1 (03.09.2024). 
Разложить числа на множители:
а) 90; б) 336; в) 414.

Задача №2 (03.09.2024). 
Разложить числа на множители:
а) 90 + 3N; б) 336 - 2N; в) 414 +(2N-1),

N - ваш порядовый номер

Задача №3 (09.09.2024). 
Разложить числа на множители. В ответе указать сумму простых множителей, больших 1:
а) 2394; б) 3234; в) 2184; г) 2574.

Задача №4 (09.09.2024). 
Определить общие делители чисел:
а) 90 и 48; б) 78 и 36; в) 169 и 52.

Задача №5 (09.09.2024). 
Определить наибольший общий делитель чисел:
а) (60, 45, 75); б) (48, 32); в) (64, 27).

Задача №6 (09.09.2024). 
Найти наибольший общий делитель:
а) (60, 36); б) (56, 42); в) (68, 24); г) (70, 54); д) (30, 80); е) (54, 18);
ж) (72, 44).

Задача №10 (10.09.2024). 
Найти наибольший общий делитель:
а) (60+2N, 36+6N); 
б) (56+2N, 42+6N); 
в) (68+2N, 24+8N); 
г) (70+4N, 54+4N); 
д) (30+8N, 80+2N); 
е) (54+2N, 18+7N);
ж) (72+2N, 44+5N).

Задача №11 (10.09.2024). 
Найти наибольший общий делитель с помощью алгоритма Евклида:
а) (2184, 2574); 
б) (2394, 3234); 
в) (2394, 2184); 
г) (2394, 2574);
д) (3234, 2184); 
е) (3234, 2574); 
ж) (2550, 3808); 
з) (2640, 1365).

Задача №12 (10.09.2024). 
Представить каноническое разложение чисел на множители.
Определить число делителей чисел:
а) 726; 
б) 144; 
в) 108; 
г) 72; 
д) 528; 
е) 132300; 
ж) 588000; 
з) 56700; 
и) 6480;
к) 330750; 
л) 6860.

Задача №13 (17.09.2024). 
Найти наименьшее общее кратное:
а) [60, 36]; 
б) [70, 54]; 
в) [56, 42]; 
г) [68, 24]; 
д) [30, 80]; 
е) [54, 18];
ж) [72, 44].

Задача №14 (17.09.2024).  
Определить общие кратные и НОК для чисел:
а) [6, 8]; 
б) [12, 15]; 
в) [4, 9]; 
г) [15, 18]; 
д) [21, 35]; 
е) [42, 39].

Задача №15 (17.09.2024). 
Найти наибольший общий делитель с помощью алгоритма Евклида:
а) (2184+6N, 2574+8N); 
б) (2394+4N, 3234+6N); 
в) (2394-2N, 2184+2N); 
г) (2394+6N, 2574+2N);
д) (3234+4N, 2184-4N).

Задача №16 (19.09.2024). 
Представить каноническое разложение чисел на множители.
Определить число делителей чисел:
а) 726+6N; 
б) 144-4N; 
в) 108+3N; 
г) 72+7N; 
д) 132300-100N.

Задача №17 (19.09.2024). 
Найти наименьшее общее кратное:
а) [60+4N, 36+2N]; 
б) [70+6N, 54-2N]; 
в) [56+2N, 42-8N].

Задача №18 (19.09.2024). 
Определить общие кратные и НОК для чисел:
а) [6+100N, 8+25N]; 
б) [12+75N, 15+20N]; 
в) [4+2N, 9+4N].

Задача №19 (23.09.2024).  
Определить функцию Эйлера для чисел:
а) φ(132300);
б) φ(588000);
в) φ(1620);
г) φ(999);
д) φ(1044);
е) φ(94);
ж) φ(39);
з) φ(72);
и) φ(2310).

Задача №20 (23.09.2024).  
Вычислить сравнения по модулю т = 5:
а) 17 mod 5; 
б) –11 mod 5; 
в) 136 mod 5; 
г) 355 mod 5.

Задача №21 (01.10.2024).  
Вычислить сравнения по модулю:
а) 25 mod 8; 
б) 5 mod 2; 
в) 10 mod 7; 
г) –15 mod 7; 
д) –10 mod 2; 
е) –9 mod 4.

Задача №22 (01.10.2024).  
Определить функцию Эйлера для чисел:
а) φ(132300+100N);
б) φ(588000-50N);
в) φ(1620+25N);
г) φ(999+N).

Задача №23 (03.10.2024).  
Вычислить сравнения по модулю т = 5:
а) 17+N mod 5; 
б) –11-N mod 5.


Задача №24 (03.10.2024).  
Вычислить сравнения по модулю:
а) 25+N mod 8; 
б) 5+N mod 2; 
в) 10+N mod 7.

Задача №25 (03.10.2024). 
Определить элементы приведенной системы вычетов и значение функции Эйлера:
а) m = 42;
б) m = 39;
в) m = 37.

Задача №26 (08.10.2024). 
Решить сравнения:
а) x⁴+x+2 ≡ 0 mod 5;
б) 32x ≡ 102 mod 123;
в) 111x ≡ 75 mod 321;
г) 81x ≡ 34 mod 95;
д) 124x ≡ 88 mod 144;
е) 351x ≡ 99 mod 198.

Задача №27 (08.10.2024). 
Определить элементы приведенной системы вычетов и значение функции Эйлера:
а) m = 42+N;
б) m = 39+3N;
в) m = 37+4N.

Задача №28 (15.10.2024). 
Решить сравнения:
а) x⁴+x+4N ≡ 0 mod 5;
б) 4Nx ≡ 102 mod 123;
в) 3Nx ≡ 75 mod 321;
г) 17Nx ≡ 34 mod 95;
д) 124Nx ≡ 88 mod 144;
е) 351Nx ≡ 99 mod 198.
 

Задача №29 (15.10.2024). 
Решить сравнения:
а) 134x ≡ 92 mod 152;
б) 128x ≡ 34 mod 146;
в) 122x ≡ 96 mod 134;
г) 126x ≡ 38 mod 142;
д) 130x ≡ 58 mod 144;
е) 132x ≡ 82 mod 142;
ж) 152х ≡ 29 mod 211;
з) 579х ≡ 273 mod 462.

Задача №30 (17.10.2024). 
Для системы вычетов по модулю m = 5 определить показатели, которым принадлежат элементы:
а) a1 = 1; б) a2 = 2; в) a3 = 3; г) a4 = 4.

Задача №31 (17.11.2024). 
Решить сравнения:
а) 134(2N)x ≡ 92 mod 152;
б) 128(3N)x ≡ 34 mod 146;
в) 122(2N)x ≡ 96 mod 134;
г) 126(3N)x ≡ 38 mod 142;
д) 130(2N)x ≡ 58 mod 144;
е) 132(3N)x ≡ 82 mod 142;
ж) 152(2N)х ≡ 29 mod 211;
з) 579(3N)х ≡ 273 mod 462.

Задача №32 (17.11.2024). 
Для системы вычетов по модулю m = 5N определить показатели, которым принадлежат элементы:
а) a1 = 1; б) a2 = 2; в) a3 = 3; г) a4 = 4.

Задача №33 (18.11.2024). 
В поле GF(7) для элементов 2, 3, 5 определить обратные по сложению элементы.

Задача №34 (18.11.2024). 
В поле GF(7) для элементов 2, 3, 5, 6 найти обратные по умножению элементы.

Задача №35 (18.11.2024). 
Вычислить мультипликативно обратные элементы и найти их сумму S по модулю т =7:
а) S = [(3–1 mod 7)+(5–1 mod 11)+(3–1 mod 5)+(4–1 mod 13)] mod 7;
б) S = [(2–1 mod 7)+(7–1 mod 11)+(4–1 mod 5)+(5–1 mod 13)] mod 7;
в) S = [(4–1 mod 7)+(6–1 mod 11)+(4–1 mod 5)+(5–1 mod 13)] mod 7;
г) S = [(5–1 mod 7)+(8–1 mod 11)+(2–1 mod 3)+(3–1 mod 13)] mod 7. 

Задача №26 (26.11.2024). 
Построить таблицы сложения и умножения для простых полей:
а) GF(2) с элементами 0, 1;
б) GF(3) с элементами 0, 1, 2.

Задача №27 (26.11.2024). 
Построить таблицы вычитания для аддитивных групп:
а) G+ = {0,1}, m = 2;
б) G+ = {0,1,2}, m = 3;
в) G+ = {0,1,2,3}, m = 4.

Задача №28 (26.11.2024). 
Составить таблицы сложения, вычитания и умножения элементов полей:
а) GF(5);
б) GF(7);
в) GF(6).

Задача №29 (03.12.2024).
Вычислить:
а) x⁵ +x⁴ +x+1 modd (x³ +x+1, 2);
б) x⁶ –3x⁵ +2x⁴ –1 modd (x³ +4x² +2, 5);
в) x⁵ +2x⁴ –2x² +х modd (x² –x–2, 3);
г) x⁵ –3x⁴ –6x³ +5 modd (x³ –6x² +4, 7).

Задача №30 (03.12.2024).
Пусть F(x) = x³ +x+1, p = 2 и заданы полиномы А1(х) = х⁵ +х³ +х+1, А2(х) = х⁴ +х³ +х² +1. Определить В₁(х), В₂(х).

Задача №31 (03.12.2024).
Пусть F(x) = x³ +4х² +2x+3, p = 5, А(х) = х⁶ –х⁵ –4х–2. Определить В(х).

Задача №32 (03.12.2024).
Определить элементы расширенного поля GF(2² ) и построить таблицы сложения и умножения элементов поля (таблицы Кэли).